Wikia


De Fast-growing Hierarchy (Engels voor snel-groeiende hiërarchie) is een hiërarchie van functies gebaseerd op verschillende types van oneindigheden. De Fast-growing Hierarchy wordt vaak gebruikt om de ene functie met de andere te vergelijken, omdat het een redelijk simpele definitie heeft en gebruikt wordt in de professionele wiskunde.

De meest gebruikte definitie van de Fast-growing Hierarchy:

  • $ f_0(n) = n + 1 $
  • $ f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n) $, waar $ f^n $ het n keer uitrekenen van de functie f is.
  • $ f_\alpha(n) = f_{\alpha[n]}(n) $ dan en slechts dan als $ \alpha $ een limiet is.

\alpha[n] is de nde term van een fundamentale reeks die bij het ordinaalgetal $ \alpha $ hoort. Definities van $ \alpha[n] $ kunnen variëren. De Wainer hierarchy gebruikt de volgende definitie voor $ \alpha \leq \epsilon_0 $:

  • $ \omega[n] = n $
  • $ \omega^{\alpha + 1}[n] = \omega^\alpha n $
  • $ \omega^{\alpha}[n] = \omega^{\alpha[n]} $ dan en slechts dan als $ \alpha $ een limiet is.
  • $ (\omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \cdots + \omega^{\alpha_{k - 1}} + \omega^{\alpha_k})[n] = \omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \cdots + \omega^{\alpha_{k - 1}} + \omega^{\alpha_k}[n] $ waar $ \alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_{k - 1} \geq \alpha_k $
  • $ \epsilon_0[0] = 0 $ (of 1) en $ \epsilon_0[n + 1] = \omega^{\epsilon_0[n]} $
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.